Fonction négative

Propriété

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a.
Soit \(f\) une fonction continue et négative sur un intervalle \([a~;~b]\) .
On appelle  \(\mathscr C\)  la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal.

L'aire \(\mathcal A\) , exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par \(\mathscr C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\) est égale à  \(\boxed{\mathcal A=\int_a^b{(-f(x))}\ \text{d}x=-\int_a^b{f(x)}\ \text{d}x}\) .

Remarque

L'intégrale d'une fonction négative sur \([a~;~b]\)   est un nombre réel négatif.

Exemple

\(\displaystyle \int_0^2(x-2)\text{ d}x =\left[\dfrac12x^2-2x\right]_0^2=-2\) .
La fonction \(x\mapsto x-2\) est négative sur \([0~;~2]\) .
L'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction  \(x\mapsto x-2\) , l'axe des abscisses, les droites d'équations \(x=0\) et \(x=2\) est  \(\displaystyle \int_0^2(-(x-2))\text{ d}x =-\int_0^2(x-2)\text{ d}x=2\) u.a.